Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là :

\(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\left(1\right)\)

Biến đổi tương đương phương trình này :

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\)

      \(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)

       \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-m\right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-x-m=0\left(2\right)\)

Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (2) thì :

\(t^2+x_1^2+x_2^2< 4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\Leftrightarrow m< 1\) (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\ne1\) thỏa mãn điều kiện (*)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\m< 1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{1}{4}< m< 1\\m\ne0\end{cases}\)

Xét điểm \(M\left(m;0\right)\in Ox\).

Đường thẳng  d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=k\left(x-m\right)\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}-x^3+3x+2=k\left(x-m\right)\\-3x^2+3=k\end{cases}\) có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :

     \(3\left(x^2-1\right)\left(x-m\right)-\left(x^3-3x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(3x^2-3\left(1+m\right)x+3m\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[2x^2-\left(3m+2\right)x+3m+2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\\2x^2-\left(3x+2\right)x+3m+2=0\left(a\right)\end{array}\right.\) 

Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến thì (a) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1

\(\begin{cases}\Delta=\left(3m+2\right)\left(3m-6\right)>0\\3m+3\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m< -\frac{2}{3}Vm>2\\m\ne-1\end{cases}\) (*)

Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (a), khi đó hệ số góc của 3 tiếp tuyến là :

\(k_1=-3x_1^2+3;k_2=-3x_2^2+3;k_3=0\)

Để 2 trong 3 tiếp tuyến này vuông góc với nhau \(\Leftrightarrow k_1.k_2=-1\)

\(\Leftrightarrow9\left(x^2_1-1\right)\left(x^2_2-1\right)=1\Leftrightarrow9x^2_1x^2_2-9\left(x_1+x_2\right)^2+18x_1x_2+8=0\left(i\right)\)

Mặt khác, theo định lý Viet, \(x_1+x_2=\frac{3m+2}{2};x_1x_2=\frac{3m+2}{2};\)

Từ đó (i) \(\Leftrightarrow9\left(3m+2\right)+8=0\Leftrightarrow m=-\frac{26}{27}\) thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy \(M\left(-\frac{26}{27};0\right)\) là điểm cần tìm

a: Khi m=1 thì (P): y=x^2+4x+1+1=x^2+4x+2

Thay y=-1 vào (P), ta được:

x^2+4x+2=-1

=>x^2+4x+3=0

=>(x+1)(x+3)=0

=>x=-1 hoặc x=-3

b: Phươngtrình hoành độ giao điểm là:

x^2+(2m+2)x+m^2+m=0

Δ=(2m+2)^2-4(m^2+m)

=4m^2+8m+4-4m^2-4m=4m+4

Để (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt thì 4m+4>0

=>m>-1

\(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{5}\)

=>\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=\sqrt{5}\)

=>(2m+2)^2-4(m^2+m)=5

=>4m^2+8m+4-4m^2-4m=5

=>4m+4=5

=>m=1/4

Cắt đồ thị nào vậy bạn?

hello các bạn

\(y'=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi \(M\left(m;0\right)\) là điểm thuộc trục hoành, đường thẳng d qua M có dạng: \(y=k\left(x-m\right)\)

d không là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{x-1}=k\left(x-m\right)\\k=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\end{matrix}\right.\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{-2\left(x-m\right)}{\left(x-1\right)^2}\) vô nghiệm

\(\Rightarrow x^2+2x-2m-1=0\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\Delta'=2m+2< 0\Rightarrow m< -1\)

Hay \(x< -1\)

Tất cả các đáp án đều sai

- Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d'):

\(-x^2=mx-4\Leftrightarrow x^2+mx-4=0\left(1\right)\)

\(a=1;b=m;c=-4\)

\(\Delta=b^2-4ac=m^2-4.\left(1\right).\left(-4\right)=m^2+16>0\)

Vì \(\Delta>0\) nên (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{m}{1}=-m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{1}=-4\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)=18\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=18\)

\(\Rightarrow\left(-m\right)^2-2.\left(-4\right)-\left(-m\right)-18=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy m=4 hay m=-3.

Đáp án là A